淺談FFT算法在電機保護系統中的應用分析

王晶晶

安科瑞電氣股份有限公司 上海嘉定 201801

摘要：微型電機具有體積小、重量輕、便于控制等優點，已廣泛應用于生產消費等領域.為保證微型電機的性能滿足使用要求，實時監測的環節.在傳統的電機保護中，信號處理采用的都是模擬濾波器.與模擬濾波器相比，數字濾波器具有更高的靈活性和穩定性。本文提出一種基于FFT算法的電壓信號處理方式，利用FFT可以由輸入序列直接計算出輸入信號的直流分量以及各次諧波的幅值和相位的特點，大大簡化了諧波分量的計算。

關鍵詞：FFT；電機保護；數字信號處理

0引言

FFT是一種DFT的高效算法，基本上可分為時間抽取法和頻率抽取法，把長序列分為短序列，可在時域或頻域進行。常用的時域抽取方法是按奇偶將長序列不斷變為短序列，輸出序列為順序序列，而一般的時間抽取法和頻率抽取法處理的長度只有N=2^M。本文主要研究FFT算法在電力監控產品中的應用效果，不僅能夠有效去除諧波干擾，還可以有選擇地單獨計算諧波分量，充分利用了FFT的原位性.

1傅里葉算法的原理

快速傅里葉變換(FFT)是離散傅里葉變換(DFT)的一種快速算法，從物理意義上來看，DFT將時域的數字信號變換成頻域的離散信號，根據變換之后的結果可知時域數字信號在不同頻率上的幅值，確定時域信號主要分布在哪些頻段上；從數學角度來看，ar是將數字信號變換到幾個正交的坐標系中。圖1為時域數據的DFT變換。

DFT是連續傅里葉變換的離散形式。模擬信號x(t)的連續傅里葉變換可表示為：

x(t)經抽樣后變為x(nT),:T為抽樣周期。設x(n)為N點有限長序列，其DFT為:

由式(2)可以看出計算所有x(k)大約需要N²次乘法和N(N-1)次加法，運算過程非常復雜。

一般來說，由于x(n)和W_N^nk都是復數,X(k)也是復數，那么復數運算實際上可以通過實數運算來完成，式(2)則可以寫成：

仔細觀察DFT的運算，利用系數W_Nⁿ的以下固有特性，可以減小DFT的運算量。

W_Nⁿ的對稱性為：

W_Nⁿ的周期性為：

由此可以得到：

利用這些特性，DFT運算中的有些項就可以合并。由于DFT的運算量與N²成正比，所以N越小計算量越小。

2 FFT算法的應用

離散傅里葉變換(DFT)和快速傅里葉變換(FFT)是同種變換。FFT只不過是利用DFT系數W_Nⁿ的對稱性和周期性，可以將長序列的DFT分解為短序列的DFT,然后再按一定的規則進行合并，從而得到整個DFT。本文根據電機工作時產生的電壓、電流波形的差異來區分正常電機和故障電機。要找出這種差異，首先需要獲取正常電機和不良電機的電流、電壓信號數據。由于電流信號難以采集，所以首先通過I/V轉換電路將電流信號轉換為電壓信號，如圖2所示。

電流信號轉換為電壓信號之后，信號的采集、分析和處理過程如圖3所示。

假設采集到的電機工作時的信號為一周期性信號，即輸入的信號中除基波外，只包含恒定的直流分量和各種整次諧波分量。此時電流輸入信號可以表示為:

其中，a₀、a_k、b_k為傅里葉系數

由數學定理可知周期函數可展開為傅里葉級數:

其中，式(7)和式(11)的各系數之間還有以下關系:

當采集到電壓信號后，A_km和φ_k分別對應電壓的k次諧波的幅值A_kmk次諧波的相位φ，由此可以計算出電壓的k次諧波的有效值。得出系數之間的關系后還可以得到k次諧波的有功功率P_k、無功功率Q_k和視在功率S_k.

同時可以計算出k次諧波的電壓含有率HRU_k ：

同理得到電壓的諧波總失真度THD_U：

3基2時間抽取FFT算法的分析

設序列x[k]的長度為用N=2^M為正整數，M為正整數，長度不滿足該條件，可通過補0的方法使序列x[k]滿足該條件。對長度為N的序列x[k]進行時間抽取，將其分解為兩個

長度為N/2點的序列 ，分別為 ：

其中，x₁[k]是序列中偶數點構成的序列，x₂[k]是序列中奇數點構成的序列。

對x[k]進行DFT得：

由于旋轉因子W_Nⁿ擁有式(4)、式(5)和式(6)的特性,因此：

綜上所述，可以表示為：

將式(22)和式(23)合并即可得到序列x[k]的DFT。蝶形計算結構如圖4所示。

基2時間抽取FFT運算流圖(N=8)如圖5所示。

4仿真結果

實際中常常會遇到要求兩個序列的線性卷積，如一個信號序列x(n)通過FIR濾波器時，其輸出y(n)應是x(h)與h(n)的卷積：

有限長序列x(n)與h(n)的卷積結果y(n)也是一個有限長序列。假設x(n)和h(n)的長度分別為N1和N2,則y(n)的長度為N1+N2-1。若通過補0使x(n)和h(n)都加長到N點,就可以用圓周卷積計算線性卷積。這樣得到用FFT運算來求y(n)值(快速卷積)的步驟如下。

(1) 對序列x(n)和h(n)補0至長為N,使得N≥N1+N2-1,,并且N=2^M(M為整數)，即：

(2)用FFT計算x(n)與h(n)的離散傅里葉變換:

(3)計算XQ=X(QH(Q。

(4)用IFFT計算Y(k)的離散傅里葉反變換得：

例如，運用FFT實現序列x(n)=sin(0.4n),1≤n≤15與序列y(n)=0.9ⁿ,1≤n≤20之間的快速卷積，并測試直接卷積與快速卷積的時間，得到的卷積結果如圖6所示。其中，運用快速卷積的時間為0.000033秒，運用直接卷積的時間為0.000049秒。很明顯，運用FFT的快速卷積運算速度上優于宜接卷積。

5.安科瑞智能電動機保護器介紹

5.1產品介紹

智能電動機保護器(以下簡稱保護器)，采用單片機技術，具有抗干/擾/能力強、工作穩定可靠、數字化、智能化、網絡化等特點。保護器能對電動機運行過程中出現的過載、斷相、不平衡、欠載、接地/漏電、堵轉、阻塞、外部故障等多種情況進行保護，并設有SOE故障事件記錄功能，方便現場維護人員查找故障原因。適用于煤礦、石化、冶煉、電力、以及民用建筑等領域。本保護器具有RS485遠程通訊接口，DC4-20mA模擬量輸出，方便與PLC、PC等控制機組成網絡系統。實現電動機運行的遠程監控。

5.2技術參數

5.2.1數字式電動機保護器

5.2.2模塊式電動機保護器

5.3產品選型

6 結束語

本文研究了一種由DFT優化演變而來的FFT算法，與傳統方法相比，該算法具有高效的運算效率，為信號處理提供了良好的條件。仿真結果證明，該算法能夠減少信號處理所需的時間，可以直接計算出電壓信號的直流分量以及各次諧波的幅值和相位，便于分析諧波的分量，有利于繼電器及時做出斷電的決策。

參考文獻

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[4] 安科瑞企業微電網設計與應用手冊.2020.06版